- 1. A sztochasztikus folyamat olyan matematikai objektum, amely véletlen változók gyűjteményéből áll, jellemzően időindexálva. Valamely rendszer időbeli fejlődését reprezentálja, ahol a rendszer viselkedésében bizonytalanság vagy véletlenszerűség játszik szerepet. A sztochasztikus folyamatokat különböző területeken, például a pénzügyekben, a fizikában, a biológiában és a mérnöki tudományokban használják véletlenszerű jelenségek modellezésére és tulajdonságaik elemzésére. Ezek a folyamatok tulajdonságaik alapján különböző típusokba sorolhatók, mint például diszkrét idejű vagy folytonos idejű, stacionárius vagy nem stacionárius, valamint markoviánus vagy nem markoviánus, ami hatékony keretet biztosít a véletlenszerűség által befolyásolt komplex rendszerek tanulmányozásához és megértéséhez.
Mi az a sztochasztikus folyamat?
A) Olyan folyamat, amely csak diszkrét lépésekben történik. B) Egy véletlenszerű folyamat, amely az idő múlásával fejlődik. C) Egy folyamat, amely az idő múlásával állandó marad. D) Egy determinisztikus folyamat rögzített kimenetelekkel.
- 2. Mi egy sztochasztikus folyamat állapottér?
A) A folyamat pontos értéke egy adott időpontban. B) A folyamat által felvehető összes lehetséges érték halmaza. C) A folyamat által elérhető maximális érték. D) A folyamat időbeli átlagértéke.
- 3. Egy Poisson-folyamatban milyen az érkezési időközök eloszlása?
A) Bernoulli-eloszlás B) Exponenciális eloszlás C) Normál eloszlás D) Egyenletes eloszlás
- 4. Mi egy sztochasztikus folyamat autokorrelációs függvénye?
A) A különböző időpontokban mért értékek közötti korreláció mérése. B) A folyamat pontos formája egy adott időpontban. C) A folyamat időbeli átlaga. D) A folyamathoz lehetséges maximális korreláció.
- 5. Mi a szerepe az átmeneti mátrixnak egy Markov-láncban?
A) Meghatározza a folyamat kezdeti állapotát. B) Megadja a folyamat végső állapotát. C) Leírja a különböző állapotokba való költözés valószínűségeit. D) Kiszámítja az egyes államokban töltött átlagos időt.
- 6. Mit jelent az ergodicitás a sztochasztikus folyamatokkal összefüggésben?
A) A hosszú távú átlagos viselkedés egyetlen realizációból is kikövetkeztethető. B) A rövid távú elemzés elegendő a hosszú távú viselkedés megértéséhez. C) A hosszú távú viselkedésre nem lehet következtetni. D) A viselkedés teljesen véletlenszerű.
- 7. Az alábbiak közül melyik NEM tartozik a sztochasztikus folyamatok közé?
A) Markov-folyamat B) Determinisztikus folyamat C) Geometriai folyamat D) Brown-mozgás
- 8. Mit jelent a nagy számok törvénye a sztochasztikus folyamatokkal összefüggésben?
A) A várható értékek a megfigyelések számával változnak. B) A véletlenszerűség csökken a több megfigyeléssel. C) A mintaátlagok eltérnek a várt értékektől. D) A megfigyelések számának növekedésével a mintaátlagok konvergálnak a várható értékekhez.
- 9. Mely területeken alkalmazzák gyakran a valószínűségbeli folyamatokat?
A) Kizárólag a pénzügyekben és a gazdaságtanban. B) Kizárólag a matematikában és a statisztikában. C) Főként a nyelvtudományban és az antropológiában. D) Biológia, kémia, ökológia, idegtudomány, fizika, képfeldolgozás, jelalak-elemzés, vezérlési elmélet, információelmélet, számítástechnika és távközlés.
- 10. Ki használta a Poisson-folyamatot a telefonhívások modellezésére?
A) A. K. Erlang. B) Andrej Kolmogorov. C) Louis Bachelier. D) Albert Einstein.
- 11. Mi az egy valós értékű sztokasztikus folyamat?
A) Az állapotterület véges. B) Az állapotterület a valós számok halmaza. C) Csak egész szám értékeket vehet fel. D) A mutatóhalmaz egész számokat tartalmaz.
- 12. Melyik évben jelent meg először az „stochastic” szó az angol nyelvben, a történelmi feljegyzések szerint?
A) 1934 B) 1888 C) 1662 D) 1713
- 13. Ki használta először a "stochastik" kifejezést németül, olyan értelemben, hogy azt a véletlenséggel kapcsolatos jelenségekre utalja?
A) Ladislaus Bortkiewicz B) Joseph Doob C) Jakob Bernoulli D) Aleksandr Khinchin
- 14. Ki vezette be először a "véletlen függvény" kifejezést a sztochasztikus folyamatok kapcsán?
A) Andrei Kolmogorov B) Joseph Doob C) Aleksandr Khinchin D) Francis Edgeworth
- 15. Mikor volt az első dokumentált használata a 'random' szónak az angol nyelvben, a jelenlegi jelentésében?
A) 16. század B) 14. század C) 17. század D) 18. század
- 16. Melyik matematikus használta a „stochastischer Prozess” kifejezést németül?
A) Ladislaus Bortkievics B) Jakob Bernoulli C) Andrej Kolmogorov D) Alekszandr Hincsin
- 17. Melyik műben használta Jakob Bernoulli a "Ars Conjectandi sive Stochastice" kifejezést?
A) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica B) Principia Mathematica C) De Motu Corporum D) Ars Conjectandi
- 18. Mi az eredete a 'véletlen' szó származásának?
A) Görög szó, amelynek jelentése: 'célba venni'. B) Középfrancia szó, amelynek jelentése: 'gyorsaság, sürgés'. C) Latin szó, amelynek jelentése: 'esély'. D) Óangol szó, amelynek jelentése: 'szerencse'.
- 19. Mikor volt az első dokumentált használata a 'véletlen folyamat' kifejezésnek?
A) 1934 B) 1713 C) 1662 D) 1888
- 20. Ki használta először a 'stochastischer Prozess' (valószínűségbeli folyamat) kifejezést Alekszandr Khinchin előtt?
A) Joseph Doob B) Andrej Kolmogorov C) Jakob Bernoulli D) Ladislaus Bortkiewicz
- 21. Melyik jelölés helyesen ábrázolja egy stochasztikus folyamatot?
A) {X_t} B) X(t) C) {X_t}_{t∉T} D) {X(t)}_{t∈T}
- 22. Hogyan lehet helytelenül jelölni egy stochasztikus folyamatot?
A) X(t) B) {X_t}_{t∈T} C) {X(t)}_{t∈T} D) {X_t}
- 23. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy Bernoulli-próba eredménye 1?
A) 1-p B) t C) 0,5 D) p
- 24. Bernoulli-folyamatban minden egyes véletlen változó mit jelent?
A) Egy determinisztikus (előre meghatározott) eredményt. B) Egy Poisson-eseményt. C) Egy folytonos eloszlást. D) Egy idealizált pénzérme dobása.
- 25. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy Bernoulli-próba eredménye nulla?
A) p B) 0,5 C) 1-p D) t
- 26. Mi az indexhalmaz egy olyan Bernoulli-folyamat esetén, amely a nulla időpontban kezdődik?
A) [0, ∞) B) {0, 1, 2, ...} C) (-∞, ∞) D) [1, ∞)
- 27. Hogyan lehet idealizálni egy Bernoulli-folyamatot?
A) Érmével való ismételt dobás B) Időintervallumok mérése C) Kártyák húzása egy pakliból D) Dobókocka gördítése
- 28. Mi az egy bernoulli-folyamatban szereplő 'farok' (tail) értéke?
A) Nulla B) p C) t D) Egy
- 29. Egy egyszerű, véletlen sétában, milyen értékeket vehet fel minden egyes Bernoulli-változó?
A) -1 vagy 0 B) 0 vagy 1 C) Bármilyen valós szám D) +1 vagy -1
- 30. Mi a lehetséges állapotok halmaza egy egyszerű, véletlen sétához?
A) Természetes számok B) Racionális számok C) Valós számok D) Egész számok
- 31. Mi az egy egyszerű, véletlenszerű sétának megfelelő indexhalmaz?
A) Egész számok B) Komplex számok C) Természetes számok D) Valós számok
- 32. Ki bizonyította matematikailag a Wiener-folyamat létezését?
A) Kiyoshi Itô B) Norbert Wiener C) Albert Einstein D) Andrej Kolmogorow
- 33. Melyik másik névvel hívják a Wiener-folyamatot a történelmi kapcsolatára való tekintettel?
A) Markov-lánc B) Poisson-folyamat C) Barna mozgás D) Lévy-repülés
- 34. Milyen dimenziós euklideszi térben lehet általánosítani egy Wiener-folyamat állapotterét?
A) 1-dimenziós B) 3-dimenziós C) n-dimenziós D) 2-dimenziós
- 35. Melyik területen alkalmazzák leggyakrabban a Wiener-folyamatot a valószínűségszámításon belül?
A) Kvantitatív pénzügy B) Elektromágnesesség C) Termodinamika D) Klasszikus mechanika
- 36. Melyik modell alkalmazza a Wiener-folyamatot a kvantitatív pénzügy területén?
A) Modern portfólióelmélet B) Tőkeköltség-meghatározási modell (CAPM) C) Hatékony piac hipotézise D) Black–Scholes–Merton modell
- 37. Milyen feltételeknek kell teljesülnie a t1 és t2 változók számára ahhoz, hogy egy növekményt definiálhassunk?
A) A t1 és t2 változók függetlenek. B) t1 ≤ t2. C) t1 = t2. D) t1 > t2.
- 38. A valószínűségelméleti folyamatok szempontjából mit jelöl a '∘' szimbólum?
A) Függvényösszeállítás. B) Halmazok egyesítése. C) Halmazok metszetének képzése. D) Valószínűségi mérték.
- 39. Egy állandó, valószínűségi változókkal leírt folyamat esetén, mi marad változatlan az időbeli eltolások során?
A) A második moment. B) Az indexhalmaz. C) A várható érték és a variancia. D) Véges dimenziós eloszlások.
- 40. Melyik matematikai struktúrát képvisel az indexhalmaz (T) a szűrési művelet tekintetében?
A) Egy teljes rendezési reláció. B) Nincs meghatározott rend. C) Egy rendezetlen halmaz. D) Egy részleges rendezési reláció.
- 41. Ki publikált 1905-ben olyan munkát, amely a Brown-mozgást vizsgálta, hogy megmagyarázza a részecskék véletlen mozgását folyadékokban?
A) Jean Perrin B) Albert Einstein C) Marian Smoluchowski D) Percy Daniell
- 42. Melyik típusú modell veszi figyelembe a véletlenszerűség hatásait a születésekben, halálozásokban és a népességmozgásokban?
A) Determinisztikus modellek B) Lineáris modellek C) Nemlineáris modellek D) Sztokasztikus modellek
- 43. Melyik területhez kapcsolódott Filip Lundberg úttörő munkája, amikor egy homogén Poisson-folyamatot használt modellként?
A) Alfa részecskék B) Differenciálegyenletek C) Biztosítási igények D) Telefonhívások
- 44. Ki adta ki az első valószínűséggel foglalkozó könyvet, amelyben a mértélméletből származó fogalmakat alkalmazott, még 1925-ben?
A) Andrej Kolmogorov B) Paul Lévy C) Szergej Bernstein D) Émile Borel
- 45. Ki vezette be a 'martingál' kifejezést egy stochasztikus folyamat leírására?
A) Kiyosi Itô B) Jean Ville C) Gilbert Hunt D) Joseph Doob
- 46. Melyik tudományág alakult ki a 19. században, és amely a fizikai rendszerek statisztikai elemzésére összpontosít?
A) Klasszikus mechanika B) Termodinamika C) Kvantummechanika D) Sztatisztikus mechanika
- 47. Melyik tudós munkássága az alfa-részecskék számolásával kapcsolatban vezetett a Poisson-folyamat független felfedezéséhez?
A) A.K. Erlang B) Siméon Poisson C) Filip Lundberg D) Harry Bateman
- 48. Melyik probléma példája egy olyan véletlen sétának, amelyben abszorbeáló határterületek vannak?
A) Brown-mozgás B) A szerencsevadó bukása C) Megújítási folyamat D) Pontfolyamat
- 49. Melyik évben publikálta Joseph Doob a befolyásos könyvét a valószínűségelméleti folyamatokról?
A) 1945 B) 1970 C) 1960 D) 1953
- 50. Melyik tétel szolgál bizonyítékul arra, hogy egy adott, véges dimenziós eloszlású stochasztikus folyamat létezik?
A) Itô lemma B) Központi határtétel C) Kolmogorov létezési tétele D) Lévy folytonossági tétele
- 51. Melyik évben használta először Karl Pearson a "véletlen séta" kifejezést?
A) Az 1930-as évek B) 1713 C) 1905 D) 1919
- 52. Melyik évben kezdte el Maurice Fréchet a Markov-láncokról szóló tanulmányát?
A) 1928 B) 1912 C) 1931 D) 1907
- 53. Melyik matematikus ismert arról, hogy függetlenül jutott el olyan eredményekhez, amelyek egyenértékűek voltak Einstein munkájával a Brown-mozgás terén?
A) Louis Bachelier B) Leonard Savage C) Norbert Wiener D) Marian Smoluchowski
- 54. Melyik matematikus nyerte el az Abel-díját 2007-ben a valószínűségségi folyamatokkal kapcsolatos munkájáért?
A) Srinivasa Varadhan B) Alexander Wentzell C) Gilbert Hunt D) Paul-André Meyer
- 55. Ki vezette le a Chapman-Kolmogorov egyenletet 1928-ban?
A) Louis Bachelier B) Norbert Wiener C) Sydney Chapman D) Andrej Kolmogorow
- 56. Melyik matematikus munkássága kötötte össze a Markov-folyamatokat és a potenciáltervezetet az 1950-es években?
A) Gilbert Hunt B) Sergei Bernstein C) Joseph Doob D) Shizuo Kakutani
- 57. Melyik évben vezette le Kolmogorov egy karakterisztikus függvényt a Lévy-folyamatokhoz kapcsolódó véletlen változók számára?
A) 1934 B) 1937 C) 1932 D) 1928
- 58. Mely tulajdonság biztosítja, hogy egy Lévy-folyamat inkrementumának eloszlása az intervallum hosszától függ?
A) Függetlenség B) Folytosság C) Markov-tulajdonság D) Stacionaritás
- 59. Mi a szokásos jelölés egy Skorokhod-féle funkcióterek esetén?
A) C B) S C) D D) F
- 60. Melyik évben alkalmazta Louis Bachelier a Wiener-folyamatot az ármodelléshez a párizsi tőzsdén?
A) 1880 B) 1912 C) 1950-es évek D) 1900
- 61. Mit jelent a 'càdlàg' kifejezés?
A) Konstans amplitúdójú, diszkrét lineáris grafikon. B) Folyamatos és differenciálható minden pontban. C) Kumulatív eloszlási függvény. D) Folytassa jobbra, a határ a bal oldalon (jobb-folyamatos, baloldali határokkal).
- 62. Mi motiválta a Pierre de Fermat és Blaise Pascal közötti levelezést?
A) Egy szerencsejáték-probléma. B) A differenciálszámítás fejlődése. C) A geometria tanulmányozása. D) Az algebra feltalálása.
- 63. Ki tekinthető annak, aki a tőkeelemzés területét nyitotta meg elöljáróban az ármodelljeiről szóló disszertációjával?
A) Thorvald Thiele B) Albert Einstein C) Norbert Wiener D) Louis Bachelier
- 64. Ki érdemli a kalman-szűrés néven ismert statisztikai módszer korai felfedezésének elismerését, munkássága révén az idősor-analízis területén?
A) Norbert Wiener B) Thorvald Thiele C) Albert Einstein D) Louis Bachelier
- 65. Melyik évben publikálta Andrej Markov az első munkáját a Markov-láncokról?
A) 1928 B) 1931 C) 1912 D) 1906
- 66. Ki fedezte fel először önállóan egy elágazó folyamatot, mielőtt Galton és Watson?
A) Irénée-Jules Bienaymé B) Maurice Fréchet C) Sydney Chapman D) Andrej Markov
- 67. Ki vizsgálta a Markov-láncokat véges csoportokon, hogy tanulmányozza a kártyakeverés folyamatát?
A) Henri Poincaré B) Maurice Fréchet C) Sydney Chapman D) Andrej Kolmogorov
- 68. Mit jelöl a 𝓕 szimbólum a valószínűségelméleti folyamatok kontextusában?
A) Egy véletlen változó. B) Az időpontok számára definiált indexhalmaz. C) Egy σ-algebra az Ω halmazon. D) Egy valószínűségi mérték.
- 69. Melyek azok a két feltétel, amelyeknek a véges dimenziós eloszlásoknak meg kell felelniük Kolmogorov létezési tézise szerint?
A) Normális eloszlás és állandóság B) Koherenciális feltételek C) Függetlenség és azonos eloszlás D) Linearitás és folytonosság
- 70. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek természetesen a diszkrét időbeli, valószínűséggel meghatározott folyamatok a szétválaszthatóság tekintetében?
A) Ök nem lehetnek szétválaszthatóak. B) A szétválaszhatóságuk az állapotterülettől (S) függ. C) Ők mindig szétválaszthatóak. D) A szétválaszhatóságukhoz szükség van arra, hogy indexhalmazuk egy sűrű, megszámlálható részhalmaza rendelkezésre álljon.
- 71. Milyen típusú egyenletet vezetett le Albert Einstein a belső mozgásban lévő részecskék valószínűség-eloszlását leíró modelljében?
A) Legkisebb négyzetek módszerére alapozott egyenlet B) Differenciálegyenlet C) Fourier-egyenlet D) Diffúzióegyenlet
- 72. Ki kapta meg a Fields-érmet 2014-ben a „rough paths” elmélet fejlesztéséért?
A) Wendelin Werner B) Srinivasa Varadhan C) Gilbert Hunt D) Martin Hairer
- 73. Melyik tudós korai kísérletei, amelyekkel próbálta beépíteni a véletlenszerűséget a statisztikai fizikába, voltak kevésbé befolyásosak?
A) James Clerk Maxwell B) Ludwig Boltzmann C) Rudolf Clausius D) Josiah Gibbs
- 74. Ki vezette be a Skorokhod-féle funkciótereket?
A) Paul Lévy B) Norbert Wiener C) Andrej Kolmogorov D) Anatolij Szkorohod
- 75. Melyik jelölés fejezi ki a várható értéket a keresztkovariancia képletében?
A) E B) C C) R D) V
- 76. Ki tekinthető úttörőnek a valószínűségszámítás terén, és ki hunyt el a második világháború alatt?
A) Wolfgang Doeblin B) Andrej Kolmogorov C) Harald Cramér D) Paul Lévy
- 77. Ki vezette be a szétválasztás fogalmát a valószínűségelméleti folyamatok esetén?
A) Norbert Wiener B) Joseph Doob C) Paul Lévy D) Andrej Kolmogorov
- 78. Mely esemény szakította meg jelentősen a valószínűségszámítás fejlődését a második világháború során?
A) A hidegháború B) Az orosz forradalom C) A második világháború D) A nagy gazdasági válság
- 79. Melyik matematikus későbbi munkássága a Szovjetunióban járult hozzá a nagy eltérések elméletéhez?
A) Kiyosi Itô B) Joseph Doob C) Alexander Wentzell D) Gilbert Hunt
- 80. Ahhoz, hogy egy stochasztikus folyamatot elkülöníthetőnek lehessen tekinteni, milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie az indexhalmazának?
A) Egy sűrű, megszámlálható részhalmaz. B) Nincs konkrét előírás. C) Véges számú elem. D) Megszámlálhatatlan számú elem.
- 81. Ki járult jelentősen hozzá a Markov-folyamatok alapjainak megteremtéséhez, kezdve az 1930-as évektől?
A) Louis Bachelier B) Sydney Chapman C) William Feller D) Paul Ehrenfest
- 82. Ki nevezte az 1930-as éveket a matematikai valószínűségszámítás „hősies korszakának”?
A) Andrej Kolmogorov B) Joseph Doob C) William Feller D) Harald Cramér
- 83. Mi az Andrei Kolmogorov 1933-as könyvének a címe, amely a valószínűségszámítás témájával foglalkozik?
A) A stokasztikus folyamatok elmélete B) Bevezetés a mértani elméletbe C) A valószínűségszámítás alapfogalmai D) A valószínűségszámítás alapjai
- 84. Ki kezdte el a Markov-folyamatokhoz való hozzájárulást az 1950-es évektől?
A) Andrej Kolmogorov B) Maurice Fréchet C) Poincaré D) Eugene Dynkin
- 85. Ki fordította le Bachelier disszertációját angol nyelvre, hozzájárulva ezzel annak népszerűségéhez?
A) Thorvald Thiele B) Leonard Savage C) Percy Daniell D) Jean Perrin
- 86. Ki használta a Bernoulli-próbákat az esélyjátékok tanulmányozására?
A) Jakob Bernoulli B) George Pólya C) Christiaan Huygens D) Karl Pearson
- 87. Melyik matematikus dolgozta ki azt a mérési elméletet, amelyet Norbert Wiener a Wiener-folyamatával kapcsolatos munkájában használt?
A) Albert Einstein B) Louis Bachelier C) Marian Smoluchowski D) Percy Daniell
- 88. Ki mutatta be Hilvert hatodik problémáját a matematikusok nemzetközi kongresszusán, 1900-ban?
A) Paul Lévy B) Andrei Kolmogorov C) David Hilbert D) Henri Lebesgue
- 89. Melyik kifejezést használják szinonimaként a 'módosítás' szóval kapcsolatban, amikor stokasztikus folyamatokról van szó?
A) Egyenértékűség B) Szakasz szerinti egyenértékűség C) Verzió D) Módosítás
- 90. Mi egy fontos alkalmazási területe a Markov-folyamatoknak?
A) Nem véletlenszerű objektumok szimulálása B) Markov-lánc alapú Monte Carlo módszerek a Bayes-statisztikában C) Lineáris regresszió modellek elemzése D) Determinált differenciálegyenletek megoldása
- 91. Melyik elméletet vezették be az 1990-es években, és amiért Wendelin Werner Fields-érmeket kapott?
A) Schramm–Loewner evolúció B) Potenciálelmélet C) A nagy eltérések elmélete D) Sztokasztikus számítás
- 92. Ki állította fel az első kapcsolatokat a valószínűségelmélet és a potenciáltervezés között az 1940-es években?
A) Shizuo Kakutani B) Gilbert Hunt C) Paul-André Meyer D) Kiyosi Itô
- 93. Ki járult jelentősen hozzá a gázok kinetikus elméletéhez 1859-ben?
A) Rudolf Clausius B) Ludwig Boltzmann C) Josiah Gibbs D) James Clerk Maxwell
- 94. Melyik matematikus munkássága volt alapvető fontosságú a szovjetuniói valószínűségszámítás számára az 1920-as években?
A) Henri Lebesgue B) Émile Borel C) Paul Lévy D) Szergej Bernsztajn
- 95. Thorvald Thiele munkájában, amely a legkisebb négyzetek módszerét tárgyalja, melyik volt a fő kutatási terület?
A) Mértani elmélet B) Pénzügyi matematika C) Idézéses elemzés D) Fizika
- 96. Melyik évben publikálta Filip Lundberg a Poisson-folyamatról szóló disszertációját?
A) 1910 B) 1903 C) 1909 D) 1920
- 97. Ki érdemli a véletlen változókra épülő számítások területének fejlesztésében betöltött szerepet, kezdve az 1940-es évektől?
A) Kiyosi Itô B) Sergei Bernstein C) Joseph Doob D) Gilbert Hunt
- 98. Melyik évben publikálta Andrei Kolmogorov a valószínűségszámítás alapjairól szóló könyvét?
A) 1945 B) 1925 C) 1933 D) 1929
- 99. Melyik évtizedben kezdtek a gazdaságtudósok gyakrabban hivatkozni Bachelier eredeti munkájára, mint a könyvére?
A) Az 1900-as évek B) Az 1920-as évek C) Az 1960-as évek D) Az 1950-es évek
- 100. Mi a kapcsolat az függetlenség és a korrelálatlanság között a stokasztikus folyamatok esetében?
A) Az ortogonalitás feltételezi a függetlenséget. B) A függetlenség feltételezi a korrelálatlanságot. C) A korrelálatlanság feltételezi a függetlenséget. D) Ezek nem összefüggő fogalmak.
|