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Mecânica lagrangiana - Questionário
Contribuição de: Pimentel
  • 1. A mecânica lagrangiana é uma estrutura matemática para descrever a dinâmica de sistemas mecânicos em termos de coordenadas, velocidades e forças generalizadas. Baseia-se no princípio da ação estacionária, em que a dinâmica de um sistema é derivada de uma única função designada por Lagrangiana. O Lagrangiano é definido como a diferença entre as energias cinética e potencial do sistema e codifica toda a informação necessária para descrever o comportamento do sistema. Aplicando as equações de Euler-Lagrange ao Lagrangiano, é possível derivar as equações de movimento para o sistema, que fornecem uma forma poderosa e elegante de analisar e resolver problemas mecânicos. A mecânica lagrangiana é amplamente utilizada em física e engenharia para estudar uma variedade de sistemas, desde simples pêndulos a complexos sistemas multicorpos, e oferece uma abordagem mais geral e versátil em comparação com a mecânica newtoniana clássica.

    Quem formulou o formalismo da mecânica lagrangiana?
A) James Clerk Maxwell
B) Isaac Newton
C) Galileu Galilei
D) Joseph-Louis Lagrange
  • 2. O Lagrangiano é definido como a diferença entre quais das seguintes energias?
A) Energia interna e externa
B) Energia eléctrica e magnética
C) Energia térmica e mecânica
D) Energia cinética e potencial
  • 3. Qual é a função utilizada na mecânica Lagrangiana que descreve a evolução de um sistema físico ao longo do tempo?
A) Força
B) Ação
C) Reação
D) Massa
  • 4. As equações do movimento na mecânica lagrangiana são derivadas utilizando que estrutura matemática?
A) Equações diferenciais
B) Cálculo Vetorial
C) Cálculo de Variações
D) Álgebra Linear
  • 5. Qual é o termo utilizado para descrever um conjunto de coordenadas que definem de forma única a configuração de um sistema na mecânica lagrangiana?
A) Coordenadas esféricas
B) Coordenadas cartesianas
C) Coordenadas generalizadas
D) Coordenadas polares
  • 6. Que princípio da mecânica lagrangiana afirma que a natureza tende a seguir caminhos que minimizam ou maximizam uma determinada quantidade?
A) Lei de Ohm
B) Lei de Hooke
C) Princípio da menor ação
D) A segunda lei de Newton
  • 7. Na mecânica lagrangiana, qual é o termo para uma pequena alteração na configuração de um sistema?
A) Deslocamento real
B) Deslocação virtual
C) Deslocamento dinâmico
D) Deslocamento estacionário
  • 8. O Lagrangiano de um sistema é uma função de que variáveis?
A) Massa e velocidade
B) Energia potencial e velocidade
C) Coordenadas generalizadas, suas derivadas de tempo e tempo
D) Coordenadas cartesianas e suas derivadas temporais
  • 9. Em que ano Joseph-Louis Lagrange apresentou seu trabalho sobre a mecânica lagrangiana à Academia de Ciências de Turim?
A) 1788
B) 1760
C) 1755
D) 1803
  • 10. Quantas coordenadas são necessárias para definir de forma única a configuração de um sistema com N partículas em um espaço tridimensional?
A) 3N
B) 6N
C) N
D) 9
  • 11. Qual é a formulação da segunda lei de Newton no contexto de um sistema de N partículas?
A) A força resultante é igual à massa vezes a aceleração para cada partícula.
B) A energia é conservada em todas as interações.
C) O momento linear é sempre zero.
D) A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância.
  • 12. Qual é a quantidade central da mecânica Lagrangiana?
A) O Hamiltoniano
B) A energia cinética
C) O Lagrangiano
D) A função de força
  • 13. Na ausência de um campo eletromagnético, qual é a função Lagrangiana não relativística para um sistema de partículas?
A) L = T - V
B) L = 2T - V
C) L = V - T
D) L = T + V
  • 14. Como é expressa a energia cinética total 'T' para um sistema de partículas?
A) T = (1/3) Σ (de k=1 até N) m_k * v_k2
B) T = (1/2) Σ (de k=1 até N) m_k * v_k2
C) T = Σ (de k=1 até N) m_k * v_k
D) T = Σ (de k=1 até N) m_k2 * v_k
  • 15. Como a energia potencial 'V' se altera se houver um campo externo ou uma força motriz que varia com o tempo?
A) V = V(v1, v2, ...)
B) V = V(r1, r2, ...)
C) De forma geral, V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t)
D) V permanece constante.
  • 16. É possível considerar qualquer função como uma função Lagrangiana se ela gerar as equações de movimento corretas?
A) Sim, em concordância com as leis da física.
B) Apenas se ela incluir a energia cinética.
C) Apenas se ela excluir a energia potencial.
D) Não, apenas funções específicas podem ser utilizadas.
  • 17. O que é introduzido juntamente com o Lagrangiano para levar em conta forças dissipativas, como o atrito?
A) Função de dissipação de Rayleigh
B) Símbolos de Christoffel
C) Função de energia potencial
D) Equações de restrição
  • 18. Que tipos de restrições a mecânica Lagrangiana pode tratar diretamente?
A) Forças dissipativas
B) Restrições não holonômicas
C) Restrições holonômicas
D) Restrições relativísticas
  • 19. Qual das seguintes opções NÃO é um exemplo de uma restrição não-holonômica?
A) Restrições que envolvem atrito.
B) Restrições que envolvem desigualdades.
C) Restrições que podem ser integradas.
D) Restrições que dependem das velocidades das partículas.
  • 20. O que o Lagrangiano Lcm representa no problema de duas partículas sob força central?
A) O termo que descreve o movimento do centro de massa.
B) A energia potencial devido à força central.
C) A energia cinética total do sistema.
D) O termo que descreve o movimento relativo entre as partículas.
  • 21. Em coordenadas polares, qual é a coordenada cíclica no Lagrangiano da dinâmica relativa, Lrel?
A) θ (teta).
B) V (energia potencial).
C) R (posição do centro de massa).
D) r (distância radial).
  • 22. O momento canônico 'p' é invariante sob transformações de calibre?
A) Sim, ele é invariante sob transformações de calibre.
B) Não, ele não é invariante sob transformações de calibre.
C) Depende do sistema específico.
D) A invariância de calibre não se aplica ao momento canônico.
  • 23. Em qual área a mecânica Lagrangiana pode ser aplicada, utilizando princípios variacionais, para determinar os trajetos dos raios de luz?
A) Mecânica quântica
B) Termodinâmica
C) Óptica
D) Eletromagnetismo
  • 24. O que o princípio de D'Alembert nos permite considerar nas equações do movimento?
A) Tanto as forças de reação quanto as forças aplicadas.
B) Apenas as forças aplicadas que não são forças de reação.
C) Variações na energia potencial.
D) Apenas as forças de reação.
  • 25. O que é conservado devido a φ ser uma coordenada cíclica?
A) Energia potencial V(r)
B) Momento angular pφ
C) Momento linear pr
D) Energia cinética (1/2)mv²
  • 26. Qual é a expressão para a energia potencial V do sistema do pêndulo?
A) mgx_pend
B) (1/2)mgy_pend²
C) Mgy_pend
D) mgy_pend
  • 27. Qual é a expressão para a massa reduzida μ em função de m1 e m2?
A) μ = m1 * m2.
B) μ = (m1 + m2) / 2.
C) μ = m1 - m2.
D) μ = (m1 * m2) / (m1 + m2).
  • 28. Em que ano D'Alembert desenvolveu o princípio para resolver problemas dinâmicos?
A) 1788
B) 1743
C) 1755
D) 1708
  • 29. Quem introduziu o princípio de D'Alembert em 1708?
A) Joseph-Louis Lagrange
B) Isaac Newton
C) Jacques Bernoulli
D) Leonhard Euler
  • 30. Qual é a relação entre a segunda lei de Newton e as geodésicas para partículas livres?
A) As partículas livres seguem geodésicas, que são trajetórias extremas.
B) As partículas livres se desviam das geodésicas devido às forças.
C) A segunda lei de Newton não está relacionada às geodésicas.
D) As geodésicas representam caminhos de força máxima.
  • 31. Qual é a expressão para a força centrífuga Lagrangeana, Fcf?
A) Fcf = μrθ² = ℓ²/(μr³).
B) Fcf = dV/dr.
C) Fcf = μr/θ.
D) Fcf = μr²θ.
  • 32. Por que o princípio de D'Alembert não pode ser facilmente utilizado para formular equações de movimento em um sistema de coordenadas arbitrário?
A) Ele exige o conhecimento de todas as forças que atuam no sistema.
B) O princípio só é válido para sistemas lineares.
C) Os deslocamentos podem estar relacionados por uma equação de restrição.
D) Ele só pode ser aplicado ao equilíbrio estático.
  • 33. Qual teorema relaciona as quantidades conservadas às simetrias no Lagrangiano?
A) Teorema de Euler
B) Teorema de Noether
C) Teorema de Lagrange
D) Teorema de Newton
  • 34. Como o Hamiltoniano pode ser obtido a partir da Lagrangiana, aplicando qual transformação?
A) Transformação de Laplace
B) Transformação de Fourier
C) Transformação de Legendre
D) Expansão de Taylor
  • 35. Em formulações relativísticas, o que não é fácil de tratar de forma explicitamente covariante?
A) Coordenadas cíclicas
B) Sistemas de múltiplas partículas
C) Dinâmica de uma única partícula
D) Momentos conservados
  • 36. Na mecânica quântica, qual constante fundamental relaciona a ação e a fase quântico-mecânica?
A) A constante gravitacional
B) A velocidade da luz
C) A constante de Planck
D) A constante de Boltzmann
  • 37. Qual é um problema potencial ao incluir derivadas temporais de ordem superior à primeira na mecânica Lagrangiana?
A) Complexidade Hamiltoniana
B) Instabilidade de Ostrogradsky
C) Violação do princípio variacional
D) Inconsistência relativística
  • 38. Na mecânica Lagrangiana, o que representa o termo d/dt(∂L/∂ẋ)?
A) m ẋ
B) m ẍ
C) -∂V/∂x
D) ∂L/∂x
  • 39. Na mecânica Lagrangiana, o que o símbolo ∇ representa no contexto das forças?
A) O operador gradiente
B) O operador rotacional (ou rot)
C) Um potencial escalar
D) O operador divergência
  • 40. Qual variável no sistema de coordenadas esféricas é cíclica, indicando que não aparece explicitamente no Lagrangiano?
A) θ
B) φ
C) m
D) r
  • 41. Na equação de Euler-Lagrange para θ, qual termo representa a variação do momento angular devido a φ?
A) -mr²sin(θ)φ̇
B) m(r²θ̇ + sin(θ)cos(θ)φ̇)
C) mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
D) -mr²sin(θ)cos(θ)φ̇²
  • 42. Qual é a forma das equações de Lagrange após uma transformação de coordenadas?
A) (d/dt)(∂L/∂q̇i) = ∂L/∂qi.
B) (d/dt)(∂L'/∂Q̇i) = ∂L'/∂Qi + Σj λj (∂ϕ'j/∂Qi).
C) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = ∂L'/∂Q̇i + Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
D) (d/dt)(∂L'/∂Qi) = Σj λj (∂ϕ'j/∂Q̇i).
  • 43. Qual formulação da mecânica clássica está intimamente relacionada à mecânica Lagrangiana?
A) Óptica
B) Mecânica de Routh
C) Mecânica Hamiltoniana
D) Formulação no espaço de momento
  • 44. No contexto da mecânica Lagrangiana, o que representam as geodésicas para partículas livres?
A) Caminhos de aceleração não lineares.
B) Caminhos com energia máxima.
C) Trajetórias ou caminhos que representam extremos.
D) Caminhos curvos no espaço-tempo.
  • 45. Na equação de Euler-Lagrange para 'r', qual termo representa a força centrípeta?
A) mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
B) m(r̈ - θ̇² - sin²(θ)φ̇²)
C) -m(r̈ + θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
D) -mr(θ̇² + sin²(θ)φ̇²)
  • 46. Qual é a expressão para o momento angular conservado pφ em coordenadas esféricas?
A) pφ = mr²sin²(θ)φ̇
B) pφ = (m/2)r²sin(θ)φ̇
C) pφ = m(r² + θ² + φ²)
D) pφ = m(r²θ̇ + sin(θ)φ̇)
  • 47. Qual é uma formulação híbrida da mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana que lida de forma eficiente com coordenadas cíclicas?
A) Mecânica relativística
B) Mecânica de Ostrogradsky
C) Mecânica de Routh
D) Formulação no espaço de momento
  • 48. Qual a importância das geodésicas em um espaço real 3D plano?
A) São caminhos curvos.
B) Representam trajetórias de máxima energia.
C) São caminhos de aceleração não linear.
D) São linhas retas.
  • 49. O que o termo ∂L/∂x˙ representa na mecânica lagrangiana?
A) ∇V
B) d/dt(∂L/∂x)
C) m x˙
D) -∂V/∂x
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